Friedrich Felger studierte in Stuttgart und München Malerei. Er beteiligte sich an Ausstellungen in Berlin und schuf Buchausstattungen für verschiedene Verlage. Von 1905 bis 1910 war er Entwerfer für die Silberwarenfabrik Bruckmann & Söhne in Heilbronn. Danach arbeitete er in Berlin als freiberuflicher Maler und Illustrator. Anschließend war er als Werbegrafiker für die Firma Heinrich Franck Söhne in Berlin tätig.

Seine wichtigste berufliche Station begann 1915, als der aus Ludwigsburg stammende Kaffeefabrikant Richard Franck ihn mit der Leitung seiner privaten Kriegssammlung betraute und ihn dafür mit weitgehenden Vollmachten ausstattete. Auf die Entwicklung der bald „Weltkriegsbücherei“ genannten Sammlung nahm Felger in den folgenden Jahren entscheidenden Einfluss. Unter seiner Leitung erreichte die Sammlung bald enorme Ausmaße. 1918 war die Weltkriegsbücherei mit Abstand die größte und bedeutendste privat finanzierte Kriegssammlung im Deutschen Reich.

Nach der deutschen Niederlage im Herbst 1918 setzte sich Felger dafür ein, das Sammelspektrum der Weltkriegsbücherei auf die Novemberrevolution und die Folgen des Krieges auszudehnen. Nachdem die Weltkriegsbücherei 1920 nach Stuttgart umgezogen war, wurde sie im Jahr darauf im Schloss Rosenstein als wissenschaftliche Spezialbibliothek der Öffentlichkeit zugänglich gemacht.

Darüber hinaus war er der Meinung, dass die Bibliothek einen wichtigen Beitrag zum Kampf gegen die im Versailler Vertrag festgehaltene Hauptschuld Deutschlands am Ausbruch des Ersten Weltkriegs leisten könne. Auch die Überlegenheit der alliierten Propaganda während des Krieges lasse sich mithilfe der Sammlung bestens belegen. So organisierte Felger im Juni 1925 eine große Tagung auf Schloss Rosenstein, die sich der sogenannten „Kriegsschuldfrage“ und der „Kriegspropaganda des Auslandes“ widmete.

1929 publizierte er im Auftrag der Weltkriegsbücherei den Sammelband „Was wir vom Weltkrieg nicht wissen“. Als Autor konnte Felger unter anderem den schon damals bekannten Schriftsteller Gottfried Benn gewinnen. Das Werk erlebte im „Dritten Reich“ mehrere Neuausgaben; das Vorwort der Ausgabe von 1938 lieferte Hermann Göring.

Die Bestände der Weltkriegsbücherei präsentierte Felger seit 1924 in mehreren Ausstellungen, die in verschiedenen Städten zu sehen waren. Bereits seit 1921 organisierte die Bibliothek unter Felgers Leitung außerdem regelmäßig stattfindende Abendvorträge zu zeithistorischen, politischen, gesellschaftlichen und kulturellen Themen.

Seit Anfang der 1930er Jahre ging Felgers Einfluss auf die Weltkriegsbücherei immer mehr zurück. Ab 1931 war er nur noch geschäftsführender Leiter. Er kümmerte sich von nun an um die Verwaltung der Bibliothek und um den Aufbau eines von ihm seit langem geplanten Weltkriegsmuseums in Schloss Rosenstein, das am 13. Mai 1933 eröffnet wurde.

Nach der Machtübernahme der Nationalsozialisten trat Felger in die NSDAP ein. Am 1. April 1934 wurde er dennoch – obwohl erst 51 Jahre alt – in den Ruhestand entlassen. In der gleichgeschalteten Presse des NS-Regimes hieß es, Felger wolle sich verstärkt schriftstellerischen und künstlerischen Arbeiten widmen. Der Kontakt zwischen der Bibliothek und ihrem Gründungsdirektor riss damit offenbar gänzlich ab. Über seine Tätigkeit in der Folgezeit ist wenig bekannt. Unter anderem beteiligte er sich am Aufbau der NSDAP-Ortsgruppe Heumaden und des Archivs des Stuttgarter NS-Kuriers. 1937 veröffentlichte er „Das Buch von Jesus Christus. Eine Evangelienharmonie“.